TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS PLANOS
Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material.
Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo a.
El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente sx’ sy’ tx’y’ que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :
Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en una área ‘da’. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal ‘da cos a’ y un área lateral ‘da sen a’
sx’ da = sx da cos a cos a + sy da sen a sen a + txy da cos a sen a + txy sen a cos a
sx’ = sx sen2a + sy cos2a + 2 txy cos a sen a
sx’ = ( sx + sy )/2 + ( sx - sy )/2 (cos 2a) + txy (sen 2a)
Suma de fuerzas en la dirección y’ :
tx’y’ da = sy da cos a sen a - txy da sen a sen a + txy cos a cos a - sx da sen a cos a
tx’y’ = sy cos a sen a - txy sen2a + txy cos2a- sx sen a cos a
tx’y’ = txy (cos 2a) - ( sx - sy )/2 (sen 2a)
Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial.
ESFUERZOS PRINCIPALES
Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando.
El esfuerzo normal máximo se deduce derivando sx’ con respecto al ángulo a :dsx’ /da = 0 = - ( sx - sy ) (sen 2a) + 2 txy (cos 2a)
tan 2a = 2 txy / ( sx - sy )
La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen : a y a + 90
Al evaluar usando estos valores para el ángulo a se obtienen los esfuerzos normales máximo ( s1) y mínimo (s2). Es importante destacar que si se iguala tx’y’ = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (s1 y s2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.
En definitiva :
s1 , s2 = ( sx + sy ) / 2 + / -
El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo a.
dtx’y’ / da = 0 = -2 txy (sen 2a) - ( sx - sy ) (cos 2a)
tan 2a = - ( sx - sy ) / 2 txy
Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda en definitiva :
t1 y t2 = + / -
CÍRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS
Las ecuaciones desarrolladas en los puntos anteriores pueden reescribirse para formar una ecuación de circunferencia :
Se tiene que :sx’ = ( sx + sy )/2 + (( sx - sy )/2 (cos 2a)) + txy (sen 2a)
tx’y’ = txy (cos 2a) - (( sx - sy )/2 ) (sen 2a)La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma :
sx’ - ( sx + sy )/2 = (( sx - sy )/2 (cos 2a)) + txy (sen 2a)Elevando al cuadrado se tiene :
(sx’ - (sx + sy)/2)2 =(sx - sy)2/4 (cos 2a)2 + (sx - sy) (cos 2a) txy (sen 2a) + txy2 (sen 2a)2
tx’y’2 = txy2 (cos 2a)2 - txy (cos 2a) (sx - sy) (sen 2a) + (sx - sy)2/4 (sen 2a)2Sumando ambas expresiones :
(sx’ - ( sx + sy )/2)2 + tx’y’2 = txy2 + (( sx - sy )2/2)2Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, se tiene entonces :
txy2 + (( sx - sy )2/2)2 = b2Reescribiendo queda :
( sx + sy )/2 = a
(sx’ - a)2 + tx’y’2 = b2Si los ejes son :
x = sx’
y = tx’y’Tenemos :
( x - a )2 + y2 = b2Que representa a una circunferencia con centro en x = a ; y = 0 con un radio r = b
Esta circunferencia se denomina Círculo de Mohr (Otto Mohr 1895) que en definitiva tiene las siguientes características :
Centro en : x = ( sx + sy )/2 ; y = 0
Radio de : r2 = txy2 + (( sx - sy )2/2)2
La figura siguiente muestra el círculo de Mohr creado a partir de un problema :
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